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数学人教版九年级上册22.1.2y=ax2的图象和性质同步训练(解析版)_数学_初中教育_教育专区

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数学人教版九年级上册22.1.2y=ax2的图象和性质同步训练(解析版)_数学_初中教育_教育专区。数学人教版九年级上册22.1.2y=ax2的图象和性质同步训练(解析版)


2019-2019 学年数学人教版九年级上册 22.1.2 y=ax2 的图象和性质 同步训 练 一、选择题 1.函数 y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则 a 的值为( ) A.±2 B.-2 C.2 D.3 2.抛物线 y=﹣x2 不具有的性质是( ) A.对称轴是 y 轴 B.开口向下 C.当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 D.顶点坐标是(0,0) 3.对于函数 ,下列结论正确的是 ( ) A. y 随 x 的增大而增大 B.图象开口向下 C.图象关于 y 轴对称 D.无论 x 取何值, y 的值总是正的 4.已知抛物线 y=ax2(a>0)过 A(﹣2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是( ) A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0 5.抛物线 y=-x2 的图象一定经过( ) A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 第-1-页 6.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:① ,则 的大小关系为( ) ;② ;③ ;④ A. B. C. D. 7.下列说法中错误的是( ) A.在函数 y=-x2 中,当 x=0 时 y 有最大值 0 B.在函数 y=2x2 中,当 x>0 时 y 随 x 的增大而增大 C.抛物线 y=2x2 , y=-x2 , 中,抛物线 y=2x2 的开口最小,抛物线 y=-x2 的 开口最大 D.不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点 8.在同一坐标系中,作 y=x2 , y=- x2 , y= x2 的图象,它们的共同特点是( ) A. 抛物线的开口方向向上 B. 都是关于 x 轴对称的抛物线,且 y 随 x 的增大而增 大 C. 都是关于 y 轴对称的抛物线,且 y 随 x 的增大而减小 D. 都是关于 y 轴对称的抛物线,有公 共的顶点 二、填空题 9.若点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(8,y3)都在二次函数 y=ax2(a<0)的图象上,则 从小 到大的顺序是________. 10.若抛物线 y=(a﹣2)x2 的开口向上,则 a 的取值范围是________. 11.若二次函数 y=m 的图象开口向下,则 m=________ 12.抛物线 y=-2x2 的开口方向是________,它的形状与 y=2x2 的形状________,它的顶点坐标是 ________,对称轴是________. 13.直线 y=x+2 与抛物线 y=x2 的交点坐标是________. 第-2-页 14.抛物线 y=ax2 , y=bx2 , y=cx2 的图象如图所示,则 a,b,c 的大小关系是________. 15.已知二次函数 y 甲=mx2 和 y 乙=nx2 , 对任意给定一个 x 值都有 y 甲≥y 乙 , 关于 m,n 的关系正 确的是________(填序号).①m<n<0 ②m>0,n<0 ③m<0,n>0 ④m>n>0 三、解答题 16.已知抛物线 经过点 A(-2,-8). (1)求 a 的值, (2)若点 P(m,-6)在此抛物线上,求点 P 的坐标. 17.抛物线 y=ax2 与直线 y=2x-3 交于点(1,b). (1)求 a,b 的值. (2)抛物线 y=ax2 的图象上是否存在一点 P,使其到两坐标轴的距离相等?若存在,求出点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由. 18.在同一个直角坐标系中作出 y= x2 , y= x2-1 的图象. (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标; (2)抛物线 y= x2-1 与抛物线 y= x2 有什么关系? 19.函数 y=ax2(a≠0)与直线 y=2x-3 的图象交于点(1,b). 求: (1)a 和 b 的值; (2)求抛物线 y=ax2 的开口方向、对称轴、顶点坐标; (3)作 y=ax2 的草图. 第-3-页 20.如图,直线 AB 过 x 轴上一点 A(2,0),且与抛物线 y=ax2 相交于 B、C 两点,B 点坐标为(1,1). (1)求直线 AB 的解析式及抛物线 y=ax2 的解析式; (2)求点 C 的坐标; (3)求 S△ COB . 答案解析部分 一、选择题 1.【答案】C 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【解答】把点(a,8)代 λ:yax 得:a'=8,解得:a=2 故答案为:C 【分析】将已知点的坐标代入函数解析式,解方程即求出 a 的值。 2.【答案】C 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】A.∵抛物线 y=﹣x2 的顶点在原点,对称轴是 y 轴,故不符合题意;B.∵:a=-1<0,此函数 的图像开向下,故不符题意,. C.当 a<0 时,抛物线在第三象限,y 随 x 的增大而增大,故符合题意; D.∵抛物线 y=﹣x2 的顶点在原点,∴顶点坐标是(0,0),故不符合题意 故答案为:C 【分析】利用 y=ax2 的性质:顶点坐标是(0,0),对称轴为 y 轴;a>0,开口向上,当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大;a<0,开口向下,当 x<0 时,y 随 x 的增大 而增大,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,即可解答。 3.【答案】C 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 第-4-页 【解析】【解答】∵在函数 中, , ∴该函数的开口向上,对称轴是 y 轴,顶点是原点, ∴该函数在 y 轴的左侧,y 随 x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大,且该函数的 最小值为 0. 综上所述,上述结论中只有 C 是正确的,其余三个结论都是错误的. 故答案为:C. 【分析】根据二次函数的图像与系数的关系,在函数 y=5x2 中, a=5>0 , b=0 , c=0 ,从而得出 该函数的开口向上,对称轴是 y 轴,顶点是原点,该函数在 y 轴的左侧,y 随 x 的增大而减小,在对 称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大,且该函数的最小值为 0,根据性质一一判断即可得出答案。 4.【答案】C 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】∵抛物线 y=ax2(a>0)的对称轴是 y 轴, ∴A(﹣2,y1)关于对称轴的对称点的坐标为(2,y1). 又∵a>0,0<1<2,且当 x=0 时,y=0, ∴0<y2<y1 . 故答案为:C. 【分析】利用二次函数的性质,可知 A(﹣2,y1)关于对称轴的对称点的坐标为(2,y1),再由 a >0,0<1<2,且当 x=0 时,y=0,可得出答案。 5.【答案】B 【考点】二次函数 y=ax^2 的图像,二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】抛物线 y=-x2 对称轴是 y 轴,开口向下,顶点为原点,所以必定经过三四象限, 故答案为:B.【分析】二次函数的解析式中 b=0,c=0,a 小于 0,故抛物线的对称轴是 y 轴,开口向下, 顶点为原点,从而得出答案。 6.【答案】A 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】通过抛物线的图像与二次项系数的关系分析可得: . 故答案为:A 第-5-页 【分析】由二次函数中,“当二次项系数为正时,图象开口向上,当二次项系数为负时,图象开口向 下”及“二次项系数的绝对值越大,图象的开口越大”即可得出答案。 7.【答案】C 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】A 由函数的解析式 y=-x2 , 可知 a=-1<0,得到函数的开口向下,有最大值 y=0, 故 A 不符合题意; B 由函数的解析式 y=2x2 , 可知其对称轴为 y 轴,对称轴的左边(x<0),y 随 x 增大而减小, 对称轴的右边(x>0),y 随 x 增大而增大,故 B 不符合题意; C 根据二次函数的性质,可知系数 a 决定开口方向和开口大小,且 a 的值越大开口越小,可知抛物 线 y=2x2 的开口最小,抛物线 y=-x2 的开口第二小,而 开口最大,C 符合题意; D 不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点,D 不符合题意. 故答案为:C. 【分析】利用二次函数 y=ax2 的性质对各选项逐一判断即可解答。 8.【答案】D 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】在同一坐标系中,作 y=x2 , y=- x2 , y= x2 的图象,它们的共同特点是: (1)顶点都在原点:(2)对称轴都是 y 轴; 故答案为:D. 【分析】由于三个函数解析式中 b=0,c=0,故顶点都在原点,对称轴都是 y 轴。 二、填空题 9.【答案】 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】∵二次函数 y=ax2 的对称轴为 y 轴,开口向下, ∴x<0 时,y 随 x 的增大而增大,x>0 时,y 随 x 的增大而减小, ∴y1<y2, 故答案是: 【分析】由于该二次函数的解析式中 a 小于 0,b=0,c=0 故图像对称轴为 y 轴,开口向下,对称轴左 第-6-页 侧是增函数,右侧是减函数,即 x<0 时,y 随 x 的增大而增大,x>0 时,y 随 x 的增大而减小,从 而得出答案。 10.【答案】a>2 【考点】二次函数 y=ax^2 的图像 【解析】【解答】解:∵抛物线 y=(a﹣2)x2 的开口向上,∴a﹣2>0,解得:a>2.故答案为:a >2. 【分析】因为二次函数的开口向上,所以 a﹣2>0,解不等式即可得 a 的取值范围。 11.【答案】m=-1 【考点】二次函数的定义,二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得:m2?m=2,再由 二次函数开口向下可得:m<0,因此 m=-1.【分析】根据二次函数的定义,自变量的次数为 2,根据二 次函数的图像开口向下值二次项系数小于 0,从而得出混合组,求解得出 m 的值。 12.【答案】向下;相同;(0,0);y 轴 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】抛物线 y=-2x2 的开口方向是向下,它的形状与 y=2x2 的形状相同,它的顶点坐 标是(0,0),对称轴是 y 轴.故答案为:向下;相同; (0,0) ;y 轴. 【分析】利用 y=ax2 的性质:顶点坐标是(0,0),对称轴为 y 轴;a>0,开口向上;a<0,开口向 下,即可解答。 13.【答案】(-1,1)和(2,4) 【考点】二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【解答】由题意可得: ,解得: , . ∴直线 y=x+2 与抛物线 y=x2 的交点坐标是:(-1,1)和(2,4). 【分析】求抛物线与直线的交点坐标,就是求直线解析式与抛物线的解析式组成的方程组的解的问 题。 14.【答案】a>b>c 【考点】二次函数图象与系数的关系 第-7-页 【解析】【解答】根据图象可以判断 a>0,b<0,c<0, |C|>|b|,所以 b>c.故答案为:a>b>c【分析】 抛物线图象开口方向由 a 的正负决定,a 为正开口向上,a 为负开口向下.抛物线图象开口的大小由 a 的绝对值决定,a 的 绝对值越大,开口越小, a 的绝对值越小,开口越大,从而得出答案。 15.【答案】②④ 【考点】二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【解答】∵x2 一定不小于 0,则由条件“对应任意给定的 x 的值,都有 y 甲 y 乙”可知:存在 以下 3 种情况: ( 1 )若 y 甲和 y 乙都为正数,则 m>0,n>0 且 m>n,即 m>n>0; ( 2 )若 y 甲为正数,y 乙为负数,则 m>0,n<0; ( 3 )若都为负数时,则 n<m<0; ∴关于 m,n 的关系正确的是② 、④ 【分析】根据偶次方的非负性得出 x2 一定不小于 0,又对任意给定一个 x 值都有 y 甲≥y 乙,故有①y 甲 和 y 乙都为正数,②若 y 甲为正数,y 乙为负数,③若 y 甲为负数,y 乙为负数,三种情况,从而得出答 案。 三、解答题 16.【答案】(1)解:将点 A(﹣2,﹣8)代入抛物线 y=ax2 , 可得 4a=﹣8,即 a=﹣2 (2)∵a=﹣2,∴y=﹣2x2 , 将 P(m,﹣6)代入 y=﹣2x2 , 得﹣6=﹣2m2 , 解得 m=± , 则点 P 的坐标为( ,﹣6)或(﹣ ,﹣6). 【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】(1)将点 A 的坐标代入抛物线 y = ax2,即可求出 a 的值,从而得出抛物线的解析 式; (2)将 P(m,﹣6)代入 y=﹣2x2 即可求出 m 的值,从而得出 P 点的坐标。 17.【答案】(1)解:∵直线 y=2x-3 过点(1,b), ∴b=2×1-3=-1,∴交点坐标为(1,-1). ∵抛物线 y=ax2 过点(1,-1), ∴-1=a×12 , ∴a=-1 (2)解:若存在点 P,设点 P 的坐标为(x,y), 则|x|=|y|. ∵a=-1,∴y=-x2 , 第-8-页 ∴x2=|x|,∴x=0 或 x=±1, ∴点 P 的坐标为(0,0)或(1,-1)或(-1,-1) 【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】(1)将点(1,b)代入直线 y=2x-3,求出 b 的值,从而得出抛物线与直线交点的 坐标,再将这个点的坐标代入抛物线 y=ax2 即可求出 a 的值;(2)设点 P 的坐标为(x,y),根据题 意得出|x|=|y|,又 y=-x2 , 从而得出关于 x 的方程,求解得出 x 的值,从而得出 P 点的坐标。 18.【答案】(1)解:抛物线 y= x2 开口向上,对称轴为 y 轴,顶点坐标(0,0);抛物线 y= x2 -1 开口向上,对称轴为 y 轴,顶点坐标(0,-1) (2)解:抛物线 y= x2-1 可由抛物线 y= x2 向下平移 1 个单位长度得到 【考点】二次函数 y=ax^2 的图像,二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式分别找到 a,b,c 的值,根据抛物线的图像与系数的关系 即可得出开口方向,对称轴,及顶点坐标; (2)根据两抛物线顶点坐标即可找到平移规律。 19.【答案】(1)解: 把(1,b)代入直线 y=2x-3 中,得 b=2-3=-1, 把点(1,-1)代入 y=ax2 中,得 a=-1 (2)解:∵在 y=-x2 中,a=-1<0, ∴抛物线开口向下; 抛物线 y=ax2 的对称轴为 y 轴,顶点坐标为(0,0) (3)解:作函数 y=ax2 的草图如下: 【考点】二次函数 y=ax^2 的图像,二次函数 y=ax^2 的性质 【解析】【分析】(1)将点(1,b)代入直线 y=2x-3 即可求出 b 的值,从而得出其交点坐标,再 将交点坐标代入函数 y=ax2(a≠0),即可求出 a 的值; 第-9-页 (2)根据(1)求出的抛物线的解析式,可知 a=-1<0,b=0,c=0,从而得出抛物线开口向下,对称轴为 y 轴,顶点坐标为(0,0); (3)利用描点法,围绕抛物线的顶点坐标对称的取值,再在坐标平面内描点,并用平滑的线按自变 量从小到大顺次连接即可得出抛物线的图像。 20.【答案】(1)解:设直线表达式为 y=kx+b. ∵A(2,0),B(1,1)都在 y=kx+b 的图象上, ∴ ,解得 ,, ∴直线 AB 的表达式为 y=﹣x+2; ∵点 B(1,1)在 y=ax2 的图象上, ∴a=1,其表达式为 y=x2 (2)解:由 ,解得 或 , ∴点 C 坐标为(﹣2,4) (3)解:S△ COB=S△ AOC﹣S△ OAB= ×2×4﹣ ×2×1=3 【考点】待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,二次函数与一次函数的综 合应用 【解析】【分析】(1)设直线 AB 的表达式为 y=kx+b,将 A,B 的坐标分别代入即可得出关于 k,b 的 方程组,求解得出 k,b 的值,从而得出直线 AB 的表达式;将 B 点的坐标代入 y=ax2 即可求出 a 的值, 从而得出抛物线的解析式; (2)解联立直线 AB 的解析式与抛物线的解析式组成的方程组,即可求出 C 点的坐标; (3)由 S△ COB=S△ AOC﹣S△ OAB 即可求出 S△ COB . 第 - 10 - 页
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